古希腊演绎数学的起源,从毕达哥拉斯到柏拉图

赛先生 2021-04-13 20:32
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导读


古巴比伦的修辞代数传入古希腊后,希腊人用演绎的方式分析各个命题,并给出正确命题的证明。其中早期的代表人物有泰勒斯和毕达哥拉斯学派。古希腊人的数学思维方式,也渗透进哲学研究中,例如柏拉图的工作。

撰文 | 刘建新(科学技术史博士)

01

修辞代数

古埃及和古巴比伦人很早就对数学感兴趣,并留下了数学的记录。公元前1700年左右的泥板书中,记录了大量的数学问题,不仅有与商业有关的问题还有抽象的数学计算,例如一元二次方程的求解,或者面积、体积的计算。

可以说,巴比伦人的数学超过埃及人,但他们关于面积、体积的计算中,仍然含有大量的错误。这与他们表达数学的方式有关。

图1 泥板书

巴比伦人用文字叙述数学问题,也用文字表述解答过程,这种表达数学的方式称为“修辞代数”。

例如,在巴比伦泥板书BM13901中,有24个类似的数学问题。其中之一是:一个正方形的边长加上面积等于3/4,求它的边长。这相当于求解一元二次方程。但泥板书中,该问题的解答步骤显得晦涩而不易理解:“把1分成两个1/2,用1/2乘以1/2得到1/4,将3/4加上1/4得到1的平方。从1中减去1/2,得到1/2。这就是边长。”

总的来说,巴比伦人的修辞代数有多方面的局限性:1. 只有解题步骤,缺乏正确性的验证;2. 不利于思考;3. 不利于读者阅读,不易传播。这些都导致修辞代数中包含很多的错误内容。

02

从修辞代数到演绎数学

早期希腊数学的原始材料留存下来得很少,最早的只有柏拉图、亚里士多德的著作。其后便是公元之后的作者们对早期希腊数学的描述。从《几何原本》和一些其它作品来看,在公元前300年左右,古希腊人与古巴比伦人的数学就有了显著的差异。古巴比伦人的修辞代数只有解题的步骤。古希腊人擅长用演绎的方法进行证明,其研究对象主要是几何学。

古希腊与古巴比伦之间是否存在过数学交流,证据并不十分充分。但有历史学家认为,巴比伦数学可能在商业活动中传入了古希腊。例如希罗多德(Herodorus)认为,一天的12小时制来自巴比伦。

当巴比伦的修辞代数传入古希腊之后,自然伴随着大量的错误,和很多难以理解的解题步骤。因此,古希腊人需要验证所接受的数学知识的正确性,他们需要搞清结果背后的道理。于是演绎的数学研究方式就产生了。

03

古希腊的泰勒斯

泰勒斯(约公元前624-548年),是希腊早期的重要几何学家。通常认为,有很多几何学命题的证明归功于泰勒斯。

图2 泰勒斯

包括:1. 圆的直径将圆分成全等的两部分;2. 等腰三角形两底角相等;3. 半圆所对的圆周角是直角等。第一条命题很有趣。一种可能的证明是用反证法。假设某条直径两侧圆的部分不全等,沿着直径将圆折叠,则两侧的圆周不重合。但如此一来,必有两条半径不相等。矛盾!

在泰勒斯的时期,数学家们尝试对各种命题提供证明。每个看似显然的命题,都需要用更为清晰的方式加以分析,并提取更为基本的假设。逐渐形成系统的演绎体系。

04

毕达哥拉斯学派

著名的毕达哥拉斯学派是带有宗教色彩的学派,他们信仰数学,信条是:万物皆数。但是,他们理解的数,不是任意实数,而是正整数以及正整数的比值。西方将勾股定理归于该学派,并称该定理为毕达哥拉斯定理。传说,当他们发现勾股定理的证明时,宰了数百头牛来庆祝。

图3 正方形数


图4 三角形数

毕达哥拉斯学派有“形数”的概念,例如正方形数、三角形数等,如上图。历史学家推测,他们可能利用了与形数相关的几何方法,证明了勾股定理。如下图。一个直角三角形的边长分别是b,b+d。以斜边为边长的正方形面积等于第1个图中间小正方形面积,加上四个三角形面积,于是等于。在第三个图中重新拼凑面积,可以看出它等于小正方形面积加上另一直角边长为边长的正方形面积


图5 勾股定理的证明。

该学派的另一项数学成就是无理数的发现。该学派有人发现,正方形的边长与对角线不可公度。他们的证明方式很可能是几何的。如图6,假设DB与DH可以公度。不妨设,DB与DH都是整数,而且不同时为偶数。由于正方形AGEF的面积是正方形DBHI面积的2倍,所以AG=DH为偶数。所以AGEF是4的倍数,所以DBHI是2的倍数。所以DB也是偶数。矛盾!

图6 根号2无理性的证明

当他们发现是无理数时,他们非常震惊,因为这与他们的信条矛盾。后来欧多克索斯提出比例理论,在一定程度上缓解了人们对无理数的困惑。

修辞代数有很多缺点,很多面积、体积公式都是错误的。古希腊人发展演绎数学的方式研究数学,克服了修辞代数的缺点。泰勒斯、毕达哥拉斯便是早期演绎数学的例子。

05

柏拉图与数学

希腊人逐步建立演绎的数学体系。他们的演绎方法不仅用于研究数学,也成为研究世界的方式,成为哲学家探寻真理的方式。

柏拉图曾多次强调数学的重要性,他的作品中也渗透了演绎数学的思维方式。柏拉图的雅典学园门前写着“不懂几何学者不得入内”,这里蕴含着柏拉图的深思。

当时数学和几何学几乎是同义词。雅典学园的学习和研究不限于几何学,更多是哲学与政治学,但在柏拉图看来,几何学的训练使人具有更严谨的思维,同时几何学的直觉帮助人研究哲学与政治学中的真理。

图7 雅典学园

柏拉图在《理想国》中,对世界进行划分。可以感受到的世界一定处于变化之中,称为“可感世界”;而世界不变的部分,一定是理念的一部分,称为“理念世界”,它们永恒不变、神圣。理念世界更为本质,而可感世界不过是理念世界的模仿。

数学是理念世界的一部分,数学是通往善的桥梁。柏拉图关于世界、城邦的很多描述,都如同使用了数学模型和演绎数学一般。例如洞穴隐喻、城邦分为三类人等模型,都体现着数学思维。

古希腊人逐渐形成演绎数学。他们从确凿无疑的假设出发,经过严谨的证明,获得关于数学、关于世界的真理,从而真正地掌握事物的本质。

参考文献

  1. J.Gray. Ideas of space: Euclidean, non-Euclidean, and Relativistic[M].(2nd edition). Oxford: Clarendon Press. 1989.
  2. J.Fauvel and J.Gray (eds) (1987). The history of mathematics- a reader [M]. Macmillan, London.
  3. 柏拉图. 理想国. 郭斌和, 张竹明 译. 北京: 商务印书馆. 1986.

 作者简介 

刘建新,科学技术史博士,信阳师范学院教师教育学院数学教师,主要研究方向为19世纪上半叶的微分几何学史与非欧几何学史。



赛先生

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