困扰了人们几百年的三体问题,科学家给出的答案竟然只有两个字 | 夏志宏——科学讲坛

中国物理学会期刊网 2022-01-15 10:01



在物理世界,

稳定的现象其实是罕见的,

不稳定才更常见。

这种不稳定现象,

套用一个现代词汇,

就叫做“混沌”。


夏志宏 · 美国西北大学终身教授

格致论道第44期2019年9月9日 北京


 

今天我要讲的是三体问题和天体运动”。大家可能都知道一本名为《三体》的小说,小说中的很多内容都涉及到了三体运动的一些性质。今天我想从科学的角度讲一下三体以及相关的一些很有趣的问题。


三体问题的由来

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近代科学是从牛顿开始的。牛顿是一个非常了不起的科学家,也许是人类最伟大的科学家,他发现了牛顿力学,发现了微积分,发现了万有引力定律。

这是美国一位著名漫画家画的一幅有关牛顿发现万有引力的漫画。漫画上有一棵苹果树,苹果树下坐着的就是牛顿,旁边有一个掉下来的苹果。



据说,牛顿在剑桥大学苹果树下睡午觉的时候,一个苹果掉下来砸在了他的头上,结果触发了他的灵感,让他发现了万有引力定律。当然,这只是一个传说

 

事实上,万有引力定律的发现经过了牛顿之前几百年来众多科学家的共同观测和辛勤劳动,它是根据许多对太阳系行星的运动观测数据而总结得来的,其中最著名的科学家应该是开普勒

 


开普勒提出了“行星运动三大定律”。这三大定律又是从哪儿来的呢?是从一个叫第谷的天文学家那里得来的。第谷这个人非常有意思,有兴趣的话,大家可以去查一下他的相关资料。


第谷是一位丹麦天文学家,他脾气暴躁,但是跟皇帝的关系比较好,皇帝还专门给了他一座岛,方便他在岛上进行天文观测。


第谷也是最后一位用肉眼观测行星运动的天文学家。那时的观测任务非常艰难,不过皇帝给了他很多资源,甚至在岛上给他建了一个造纸厂,专供他研究需要使用的纸张。


第谷脾气暴躁,年轻的时候跟人打架,鼻子让人家削了。进行天文研究工作一段时间后,新皇帝上位了,但新皇帝不喜欢他,第谷只好去往捷克,因为那时捷克的皇帝很喜欢他,所以他就到了捷克继续做他的天文学研究。


第谷经常出入捷克皇宫,不过到了捷克4年后,有一次他从皇宫回来后居然死了。当时人们都在争论为什么第谷从皇宫回来就死了。


虽然有人怀疑他可能是被毒死的,但更普遍的认为是,他在皇宫喝了太多酒,因为不好意思上厕所,结果活活让尿给憋死了!他可能是唯一一个让尿给憋死的科学家。


当然,这种说法一直存在争议。所以在第谷死了300年后的1901年,人们把他的尸体挖了出来,想确定他是否真的是让人毒死的。但结果发现,第谷确实没有中毒,他真是让尿给憋死的


特别倒霉的是,又过了100年,人们又在争议关于第谷的另一件事——第谷因打架让人给削了鼻子,那后来的假鼻子是用什么材料做的。


一部分人争议是用铁做的,一部分人争议是用铜做的。所以10年前,第谷的尸体又被挖了出来。经过检查,他的假鼻子是用铁做的。这个人真是有趣又倒霉,但就是这个人奠定了万有引力定律的一个基础


刚才说了,牛顿发现了微积分、牛顿力学和万有引力定律,这三个发现恰好把一个天文学问题变成了一个数学问题。为什么这么说呢?因为我们可以根据物理定律来精确计算行星运行的轨迹。


我是南京大学天文系毕业的,但是到美国以后就开始做数学,其实我所做的一部分工作跟天文、数学都有关系。


天文学问题变成数学问题,也就是变成解一组微分方程。大家可能知道,方程有代数方程,也有微分方程。从某一程度而言,预测天体运行就变成了解一个数学的微分方程。


当然,最简单的是二体问题,比如预测太阳和一个行星的运行轨迹。这时候要解的微分方程相对比较简单。经过简单训练的人,都可以写出二体问题的解。


复杂的三体问题


但三体问题就比较复杂了,这也是我们今天讲的主题。举一个三体问题的例子。比如研究太阳和两个行星的运行轨迹,这就构成了一个三体问题当然,也有可能是两个像太阳一样的恒星加一个行星那样的三体问题。


太阳和一颗行星构成的一个简单二体问题,它的解是比较规范的,因为有星体的运动相对规则我给大家画了一个三体问题的轨迹,你会发现,这三个支点在空间的运转轨迹是一个非常复杂的形状,它所描述的轨迹毫无规则,这也是三体问题的非常基本的性质——三个天体的运动毫无规则可循


太阳系除了太阳,还有八大行星,还有冥王星这类的矮行星,还有几百万颗小行星,有的行星还有卫星,还有现在没发现的其他大行星……


 八大行星


所以,仅太阳系这组微分方程就非常庞大非常复杂了,远远超过三体问题,是多体问题了。我们现在连三体问题都很难解决,要解决多体问题就更难了。


三体问题是否可解

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三体问题到底是否可解?也就是说,有没有一个可解的公式?

 

很遗憾,一般的微分方程都不存在一个解的公式,因为我们所掌握的函数太有限,用初等方法是没有办法写出解来的。

 

大家可能知道,代数方程比微分方程要简单得多。一个二次方程谁都可以解,三次方程稍微看一下书的人也可以解,四次方程可能比较复杂,但也还是可以解的。

 

到了五次方程以后,就再也不存在初等的解了。也就是说,无法用一个公式把五次方程的解写出来。当然,这并不是说五次方程没解,五次方程肯定有五个根,它肯定是有解的,但是我们没有办法把它的解用公式的形式写出来。

 

著名的伽罗瓦理论和阿贝尔定理,都在讲五次方程不存在一个初等形式的解。但是在牛顿所处的时代,还是有很多人试图解微分方程,他们最想做的事是找首次积分,也叫经典解

 

解方程需要找首次积分。能量积分、角动量积分、动量积分,这都是首次积分。人们花了几百年的时间想找三体问题的其他首次积分,但非常遗憾的是,直到现在,现代数学还是证明不存在其他的首次积分。


也就是说,用这种经典的方法去解三体问题是不可能的,在经典意义下,三体是不可解的。不可解反应到实用上是什么意思呢?就是我们无法写出一个公式,也就无法告诉你们一个确切的时间。


比如,你想知道一百万年以后太阳系是什么样子的,但因为三体问题没有一个解的公式,因为我写不出来公式,所以就无法告诉你答案。


不过,写不出来不等于没有解,解还是有的,只是我写不出它的公式。我们可以让计算机去计算,但这中间涉及到另一个问题——误差。让计算机去算是有误差的。短期之内误差很小,时间越长,误差越大。


所以,几千年、几万年、几百万年以后,到底会发生什么,用现在计算机算出来的解去解答,还是不可信的。这也就说明,我们没有办法预测行星运动的未来


虽然没法预测,但我们还是想知道行星运动的大概情况。比如,太阳系是不是稳定的。我们写不出解,但能否用其他数学分析方法得出太阳系是稳定的这个结论呢?毕竟这对我们来说还是挺重要的。如果太阳系不稳定,地球离太阳太远,就太冷了;离太阳太近,又太热了。


 太阳系是稳定的吗?


小说《三体》中就描述到,因为三体运动非常没有规律,所以有时候三个太阳同时出现,过高的温度把人全都烧死了,甚至烧成另外一种形态的生命。所以,我们对这类问题还是很感兴趣的。


牛顿认为行星运动是不稳定的。不过,牛顿虽然是一位伟大的科学家,但他非常相信上帝,他的下半辈子一直想试图用数学方法去证明上帝的存在。他甚至认为,太阳系不稳定,但如果有上帝帮忙,如果上帝每隔一段时间来推动一下地球,就可以解决问题了。



现在的人们很难相信,牛顿居然花了很长的时间用数学公式去推导上帝哪天会来推地球。虽然牛顿生活在文艺复兴时期,那时大家的思想比较开放,但牛顿的这种想法仍然受到了众多科学家的批判。


其实,那时候基本上所有的大科学家都想研究三体问题,因为这是一个大的没法解决的问题。每个科学家都有自己的想法,有的认为行星运动是长期稳定的,有的认为不稳定,他们都有自己的想法和证明方法。


但是,通过这么多年的观测和研究,人们越来越认识到,在物理世界,稳定的现象其实是罕见的,不稳定才更常见。这种不稳定现象,套用一个现代的词汇,就叫做“混沌”


什么是混沌?

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下面,我要告诉大家什么是混沌,希望听完之后,你们也可以轻松地告诉其他人什么是混沌。


提到“混沌”,就不得不说一段有趣的历史。这是奥斯卡二世的画像,他同时也是当时瑞典和挪威的皇帝。



奥斯卡二世是一个很有意思的人,他非常喜欢艺术、科学,读的数学书也很多,经常请一些科学家去为他讲座。


在他七十大寿的前两年,有个叫Mitag-Lefler的数学家建议他成立一个科学大奖,这个大奖将在两年后皇帝七十大寿的宴会上颁发。这个奖就是为能解决三体问题的人而设置的


当然,我们现在知道三体不可解,所以这个奖其实是白设的。很多人疑惑为什么诺贝尔奖不设立数学奖,据说是因为Mitag-lefler把诺贝尔的夫人抢走了。当然,这也是一个传说。


奥斯卡二世特别喜欢科学,某一天他请巴黎大学的一个数学家去宫廷讲数学,这个数学家叫潘勒维潘勒维是法国第84届和第92届总理,同时,他还是一个数学家。



在为奥斯卡二世做讲座的时候,他提出了潘勒维猜测:在几个星体通过万有引力相互作用的情况下,其中某个星体可能在有限时间内,被其他星体甩到无限远的地方去。潘勒维猜测提出近100年后,如今在我的博士论文里,终于把这个问题给解决了。


为什么我能解决呢?其实是因为我们现在对三体或者多体的系统有了更进一步的认识,我们知道了一种叫“混沌”的结构,我就是用混沌的机理去解决潘勒维猜测的。


回到刚才说的奥斯卡二世设置的大奖。跟潘勒维一起参与夺奖的还有另一位数学家庞加莱,他对数学的影响也非常大。



当时,庞加莱写了一篇文章,宣称自己解决了三体问题,于是评奖委员会将奥斯卡二世大奖颁给了他。但我们知道,三体问题不可解。事实上,庞加莱的一个学生很快就发现他的文章里有一个致命的错误


事情麻烦了,大奖居然颁给了发表错误文章的庞加莱。庞加莱开始意识到三体问题的复杂性,所以他重新写了一篇文章,里面首次提到了混沌现象最后,评委会主席Weierstrass认为,尽管庞加莱没有解决三体问题,但因为重写的新文章非常重要,所以仍然决定把大奖颁给他。

有趣的是,大奖金额约是庞加莱两个月的工资,但因为他写错了一篇文章,自己必须重新写、重新印刷,重新发行印有文章的那期杂志,结果花了他四个月的工资,算下来,他还亏了两个月的工资呢。


混沌与不稳定性

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那到底什么叫混沌?我们从这幅简单的漫画说起,它所讲述的故事可能有人听说过。画中跪在地上的是一位印度数学家,他手上抓着一个国际象棋的棋盘,画中坐着的是印度皇帝。这位数学家发明了国际象棋,皇帝决定给他一个奖赏。

 

 

数学家说:很简单,你在棋盘的第一个格子上放1颗麦子,在第二个格子上放2颗麦子,在第三个格子上放4颗麦子,在第四个格子上放8颗麦子……以此类推。我要的奖赏是,你只要把这个棋盘的格子都放满就行了。


皇帝一听,心想这很简单,不过是几颗麦子而已。但我们来看一看,如果要满足要求,到底需要多少颗麦子呢?棋盘上一共有64个格子,那就需要2的64次方-1颗麦子!我们换算一下,看看一共需要多少升麦子。是140万亿升麦子


从人类种麦子到现在,全球生产的麦子也没有这么多。按照现在的产量,估计要2000年以后才能把这么多麦子生产出来。这个例子说明,经过一次一次的加倍,加到63次倍以后,这个数字将变成一个天文数字。


所以,任何数据都不能一次一次地加倍。比如,想要GDP每7年就加倍一次,如果真按这个速度算下去,那将是一个天文数字。所以,几何级数的增长速度特别快。


这跟我们的物理系统有什么联系呢?举个例子。假如我在一个盒子里放几个空气分子,我先测量这些分子的初始位置和初始速度,并且有很小的误差。通过观察这些分子的运动情况,你会发现,因为分子运动是非常不稳定的,所以不到1秒钟,误差就会加倍。


再隔一秒钟,误差又会加倍。说的是1秒钟,其实不到1秒钟时,误差就会加倍。也就是说,60秒钟以后,原来的误差值就可能变成刚才你们看到的那个天文数字了。


这说明在一个物理系统中,如果微观状态下小的误差一直在加倍,那这个误差就会对这个系统产生非常大的影响。当然,数值虽然很大,但盒子的大小限制了分子的运动,分子运动到盒子边缘后会被反弹回来,所以从整体来讲,它的误差不会达到那个天文数字。但是从局部、从微观来讲,它的误差可以让原来那个系统和预测的系统完全不一样,这就是为什么我要举这个例子的原因。


我想说明,一个混沌的动力系统,小的偏移或者偏差可以导致误差以指数级形式增长,但是整体误差还在盒子的限制范围内。所以,什么叫混沌?混沌就是在小范围、在微观状态上,误差呈指数形式增长。在数学上,这叫正的Lyapunov指数,这是一个数学词汇,也是今天唯一的一个数学词汇。那混沌说明了什么?说明将来不可预测


为什么将来不可预测?因为最开始测试的精度精确到多少都没有用,一分钟以后的那个系统已经完全跟原来的系统都什么没关系了。这就是一个混沌的动力系统将来不可预测的原理。


混沌系统的应用

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什么样的系统是混沌系统呢?比如,气象系统。大家可能听说过“蝴蝶效应”。原本天气预报说北京今天有暴风雨,但实际并没下雨,为什么呢?

 

 气象系统是混沌的

 

原来,两个星期以前,在地球另一边的芝加哥,有一只蝴蝶突然抖了一下它的翅膀,对空气产生了扰动。就是这么一个小的波动,一秒钟后可能就变成两倍大小的波动,再等一秒钟,就变成四倍大小的波动……两个星期以后,“蝴蝶效应”影响到了北京,所以今天北京是晴空万里,没有下雨。


如此说来,想要准确预告天气,就必须知道芝加哥每一只蝴蝶两个星期前都干了什么。但是,还有很多比蝴蝶大得多的物体,比如飞机、火车,这些都非常大。另外,要准确预告两个星期以后的天气,还必须把芝加哥所有东西的运动都弄清楚。


当然不仅芝加哥,纽约也一样。所以,不要指望看了天气预报,你就可以淡定地安排周末去爬山,没准儿周末突然下大雨了。但你不要怪气象局,这跟气象局关系不大,要怪就怪混沌的动力系统吧,气象系统就是一个混沌的系统。三体问题现在也被证明是一个混沌系统,这也是为什么三体是一个非常复杂的运动。气象系统、湍流力学系统都是混沌的系统。


另外,我刚才提到,为什么我能证明潘勒维猜测?就是因为我证明了天体运动里有一套特殊的混沌动力系统。因为时间关系,我没法给大家解释我证明的到底是什么,如果大家感兴趣,可以去看一本名叫《天遇》的书。那是一本英文科普书,书中介绍了我的相关工作,现在有中文译本。


最后我要讲一个混沌系统应用的例子。1991年4月,日本发射了一个名叫Hiten的月球探测器,但探测器上天后,科研人员却发现燃料不够,无法到达月球轨道。于是,日本向美国宇航局求救,美国宇航局派了一位名叫Belbruno的数学家来帮助日本人。Belbruno重新设计了轨道,最后终于把这个探测器重新送回到了月球轨道上。


Belbruno就是利用了有限燃料把探测器送到一个混沌区域混沌区域不是不可预测吗,那么,稍微花一点燃料推动一下探测器,就会对探测器的运动产生特别大的影响。所以,只要把探测器放到一个合适的地方就有利;如果这个地方不合适,那稍微让它抖动一下。


有一天,Belbruno突然给我打了一个电话。他说,我写的一篇文章从理论上证明了哪个区域最容易产生混沌效应。他说,当时自己花了一个月的时间去设计新的轨道。假如那时就知道我的那篇文章,可能只要花几天时间就可以重新设计出轨道,就可以把月球探测器给救下来了。



过了几年,美国休斯公司发射一颗卫星后遇到了同样的问题:卫星上天后燃料不够,无法达到预定轨道。这时,Belbruno轻车熟路,重新设计了轨道,成功地把那颗卫星送到了预定的轨道上。所以,这是一个非常有趣的关于混沌系统的应用例子。

 

我今天的分享就到这里,谢谢大家!



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