斐波那契:数与黄金比例之美

赛先生 2022-01-15 16:43


撰文 | 蔡天新


斐波那契

斐波那契(Fibonacci,约1175-1250)出生于比萨,本名Filius Bonacci, 意为波那契的儿子。Fibonacci这个缩写后的名字,是在1838年才由意大利人利伯里*(Libri, 1803-1869)给取的。利伯里是一位伯爵和数学爱好家,因其对古代珍贵手稿的热爱和窃书而闻名。


*利布里担任法国图书馆巡查员期间,偷窃了大量古书,当被发现时,他逃往英国,携带着18个大箱,里头装着三万本书和手稿。他在法国被缺席判处10年监禁;一些被盗的作品在他死后被归还,但仍有许多失散。


不仅如此,斐波那契数列与毕达哥拉斯学派的黄金分割比也有着密切关系。简而言之,前一项与后一项的比值在项数趋向无穷时的极限为黄金分割比。这个序列除了在数论和许多其他数学分支中常常见到以外,在现代物理、准晶体结构和股票分析等领域都有直接的应用,还可以帮助解决诸如蜜蜂的繁殖、雏菊的花瓣排列、艺术美感和设计诸方面的问题。


斐波那契塑像(1863,比萨营地)


斐波那契家境富裕,他的父亲是比萨共和国的政府官员,曾被派往布日伊(Bougie,今属阿尔及利亚)任商务代理。斐波那契童年时便跟随父亲到了北非,在那里学会了印度-阿拉伯数码。后来,他又随父亲到过埃及、叙利亚、拜占庭(希腊)、西西里和普罗旺斯等地,通过广泛深入的学习和研究,他掌握了数学尤其是计算方面的各种技巧。


12世纪末,斐波那契回到比萨,在那里度过了四分之一世纪。他在故乡著书立说,并在书中采用印度-阿拉伯数码书写,促进了这一数码体系在欧洲的普及。记数和计算则利用巴比伦人发明的60进制,同时他也把数学应用于商业活动的各个领域。斐波那契还阐述了许多代数和几何问题,其重要成果主要表现在不定分析和数论领域,远远超越了前人。


大约在1225年,斐波那契受到神圣罗马帝国皇帝腓特烈二世的召见,成为宫廷数学家。据说皇帝的随从向他提出数学问题,被他一一解答。这位皇帝喜欢打仗、美女,也热爱诗歌和数学,他是欧洲好多位名号为腓特烈二世的君主之一,虽说不是最有名的一个,但他却拥有多个国王头衔,按时间顺序分别为西西里国王(1197-)、德意志国王(1212-)、神圣罗马帝国皇帝(1220-)和耶路撒冷国王(1229-)


腓特烈二世的宫殿自然也有许多处,个人猜测斐波那契是待在西西里王国,那是腓特烈二世度过童年的地方。虽说这位国王有着包括日耳曼等多个民族的血统,但他并不真正喜欢德意志。1224年,腓特烈二世在西西里王国的都城那不勒斯创建了欧洲第一所国立大学(1978年该校以腓特烈二世冠名),其最杰出的毕业生是哲学家托马斯·阿奎那(Thomas Aquinas,约1225-1274)。事实上,那时在南部意大利,那不勒斯王国与西西里王国是合二为一的。


说到那位天主教世界最重要的哲学家托马斯·阿奎那,他比斐波那契要年轻一辈。1225年,当斐波那契被国王腓特烈二世召见时,他出生在那不勒斯的洛卡塞卡城堡,那是他家族的领地。16岁那年,他进入那不勒斯大学,后来在巴黎大学获得神学博士学位。阿奎那的代表作是《神学大全》,翔实地讨论了天主教的所有教义。此外,他还给出了上帝存在的五个证明。托马斯·阿奎那把理性引入神学,同时宣称:“没有一种智慧可以不经由感觉而获得。”


至于斐波那契是否曾在那不勒斯逗留,我们就不得而知了。由于腓特烈二世忙于征战,以及与控制欲极强的教皇之间的重重矛盾,斐波那契不大可能在这位国王的宫殿里停留太久。事实上,1240年,在他的故乡比萨留存下来的一份文件上这样写道:由于斐波那契曾向市民和官吏讲述计算方法,每年给予他薪水若干金币。换句话说,他有可能在故乡度过晚年并在那里去世。


斐波那契共有五部著作传世,包括《花》《平方数书》《算盘书》《实用几何》和《给帝国哲学家狄奥多鲁斯的一封未注明日期的信》。《花》是题献给腓特烈二世的,书中收入了宫廷里举行的数学竞赛问题。例如,二次方程

的解。他还证明了,某个三次方程既没有整数或有理数解,也没有欧几里得的无理量解,即用直尺和圆规作出的根。但他却得到一个小数点后11位数的近似解,无人知道他是如何得到这个结果的。


当然,斐波那契最著名的著作要数《算盘书》(1202)。此处算盘是指用以计算的沙盘,而非真的算盘。书中引进了分数中间的那条横杠“-”,这是迄今我们仍在使用的符号。还有类似于“百鸡问题”的不定方程,那应是受到中国古代数学的影响,这种影响可能是通过阿拉伯人的著作传递的。此外,他还讲述了求方根的方法和比例变换。不过,最有趣最重要的还是要数“兔子问题”。


边长为斐波那契数的正方形折叠


百鸡问题与兔子问题

所谓“百鸡问题”出现在南北朝时期,在中国北魏数学家张丘建(又叫张邱建)的著作《张丘建算经》中,该书大约成书于公元466-485之间,幸运地流传至今。其时北魏首都在平城(山西大同),统治者是鲜卑族人。日本古都、六世纪至八世纪的文化艺术中心平城京(奈良)虽是仿长安而建,但其取名应与平城有关。


张丘建的家乡在清河县(今属河北邢台市),他的算经中最后一道题堪称亮点,通常被称为“百鸡问题”,民间则流传着县令以此考问神童的佳话,原文如下:


今有鸡翁一,直钱五;鸡母一,直钱三;鸡雏三,直钱一。凡百钱买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?


意思是,公鸡每只五钱,母鸡每只三钱,而雏鸡三只才一钱。假设有一百钱,去买一百只鸡(钱必须用光),问需买多少只公鸡、母鸡和雏鸡?

设欲购买的公鸡、母鸡和雏鸡的数量分别是x、y、z,此题相当于解下列方程组的正整数解

在张丘建时代,中国尚未引进字母,也没有未知数的概念,用文字叙述这样的方程组必定是很不容易的。可是,张丘建却正确地给出了全部三组解答,即(4,18,78),(8,11,81)(12,4,84)。实际上,他通过消元法,把这两个三元一次方程化成一个二元一次方程,即

再依次取x为4的倍数,即得上述三组解答。


而所谓“兔子问题”是这样的:由一对小兔开始,一年后可以繁殖成多少对兔子?其中规定:每对大兔每月能生产一对小兔,而每对小兔两个月大就成为可以繁殖的大兔。依据“兔子问题”,很容易得到所谓的斐波那契数或斐波那契数列,其前十项是:


      1,1,2,3,5,8,13,21,34,55……


这个序列的递归公式(数学家发现和定义的第一个递归公式)

有意思的是,这个数列的通项竟然含有无理数。而前一项与后一项的比值组成的数列竟然存在极限,且这个极限值恰好就是美学中非常重要的黄金分割比。只是,直到四个世纪以后的1611年,这个极限值才由德国天文学家、数学家开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)发现,他猜测这个极限就是古希腊的毕达哥拉斯学派定义的黄金分割比,即

至于这个极限值的证明,至晚在19世纪,才由法国数学家比奈(Jacqttes Binet,1786-1856)给出。


在笔者所著《经典数论的若干问题》中、英文版中,序言的插图均严格依照斐波那契数排列,即第1页两幅插图,第2、3、5、8和13页各有一幅插图。在自然界中,斐波那契数列也有意想不到的呈现。以植物界为例,许多花朵的花瓣个数恰好是斐波那契数,例如,梅花5瓣、飞燕草8瓣、万寿菊13瓣、紫苑21瓣,而雏菊34瓣、55瓣或89瓣的都有。


Photo by Flash Dantz on Unsplash


另外,有一个很有趣的爬楼梯的例子。假设你可以一步登一个台阶,也可以一步登两个台阶。试问,攀登一个有n个台阶的楼梯有多少种方式?

比较上式和斐波那契数列的定义及其初始值,即可得

斐波那契数列有许多有趣的性质,它还有一些未解之谜。例如,


是否有无穷多个斐波那契数是素数?


从斐波那契留下来的画像来看,他的神韵颇似晚他三个世纪的同胞画家拉斐尔。斐波那契常常以旅行者自居,人们喜欢称他是“比萨的莱奥拉多”,而把《蒙娜·丽莎》的作者称为“芬奇的莱奥拉多”。我们可以这么说,斐波那契既是欧洲数学复兴的先锋,也是东西方数学交流的桥梁。


1963年,世界各国一群热衷研究“兔子问题”的数学家成立了国际性的斐波那契协会,并着手在美国出版《斐波那契季刊》(Fibonacci Quarterly),专门刊登研究与斐波那契数列有关的数学论文。同时,又两年一度在世界各地轮流举办斐波那契数列及其应用国际会议。这在世界数学史上,也可谓是一个奇迹或神话了,堪称神性的兔子。


相比之下,“百鸡问题”只是一个孤立的初等数论问题,没有可持续研究的内容。


不过,比斐波那契晚20多年出生的中国南宋数学家秦九韶(1202-1261)却将4世纪《孙子算经》里的“物不知数”问题加以拓广,推导出了中国剩余定理。至今这个定理仍在许多数学领域有着广泛的应用,被东西方收录进每一本初等数论教科书,而按照国际惯例,它应该被称为秦九韶定理。在2021年出版的拙作《经典数论的现代导引》(中、英文版)中,我们首次将其命名为秦九韶定理。


江苏泰州中学新年条幅中的斐波那契序列


 本文节选自蔡天新著《数学与艺术》,江苏人民出版社。


 作者简介 

蔡天新

浙江大学数学学院教授、博士生导师、求是特聘学者,近作有《欧洲人文地图》、《美洲人文地图》、《小回忆》增订版、《我的大学》、《26城记》、《数学与艺术》、《经典数论的现代导引》(中、英文版)、《完美数与斐波那契序列》(中、英文版),主编《地铁之诗》、《高铁之诗》。


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制版编辑|-小圭月-

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